随机过程考试真题

1、精品文档1、设随机过程x(t)RtC,t(0,),C为常数，R服从0,1区间上的均匀分布。(1)求X(t)的一维机率密度和一维分布函数；(2)求X(t)的均值函数、相关函数和协残差函数。2、设W(t),t是参数为2的维纳过程，RN(1,4)是正态分布随机变量；且对任意的t，W(t)与R均独立。令X(t)W(t)R，求随机过程X(t),t的均值函数、相关函数和协残差函数。3、设抵达某超市的客户人数是一个泊松过程，平均每小时有180人，即180；且每位客人的消费额是服从参数为S的指数分布。求三天内(8个小时)超市营业额的物理期望与残差。4、设马尔可夫链

2、的转移机率矩阵为：0.30.70P00.20.80.700.3(1)求两步转移机率矩阵P(2)及当初始分布为PX011,PX02PX030时，经两步转移后处于状态2的机率。(2)求马尔可夫链的平稳分布。5设马尔可夫链的状态空间I1,2,3,4,5，转移机率矩阵为：0.30.40.3000.60..30.求状态的分类、各常返闭集的平稳分布及各状态的平均返回时间。6、设N(t),t0是参数为的泊松过程，估算EN(t)N(ts)。7、考虑一个从底层启动上升的扶梯。以Ni记在i第层步入扶梯的人数。假设Ni相

3、互独立,且Ni是均值为i的泊松变量。在第i层步入的各个人互相独立地以机率pij在第j层离开电梯，Pj1。令Oj=在第j层离开扶梯的人数。ji(1)估算E(Oj)(2)Oj的分布是哪些(3)Oj与Ok的联合分布是哪些&一质点在1,2,3点上作随机游动。若在时刻t质点坐落这三个点之一，则在t,th)内,它都以机率ho(h)分别转移到其它两点之一。试求质点随机游动的柯尔莫哥洛夫微分等式，转移机率pij(t)及平稳分布。1有随机过程(t),-

4、，B，为实常数，均匀分布于0，2，试求R(s,t)2(15分)随机过程(t)=Acos(t+)，-

5、经过对历史资料的整理剖析，其销售状态的变化(从这月到明年)与初始时刻无关，且其状态转移机率为pij(pij表示从销售状态i经过一个月后转为销售状态j的机率)，一步转移开率矩阵为：P试对经过长时间后的销售状况进行剖析。5设X(t),t0是独立增量过程，且X(0)=0,6设N(t),t0是硬度为的泊松过程,证明X(t),t0是-个马尔科夫过程。Yk,k=1,2,L是一列独立同分布随机变量，且实用文档N(t)2与N(t),t0独立，令X(t)=Yk,t0，证明：若E(Y1<)，则EX(t)tE£k=1精品文档7.设今天

6、是否有雨仅与明天的天气有关，而与过去的天气无关。又设明天下雪而今天也下雪的机率为，而明天无雨今天有雨的机率为;规定有雨天气为状态0,无雨天气为状态12实用文档1。设是常数,为均匀分布在是平稳过程，令ttCOS0t0,2上的随机变量，且t,，其中o与互相独立，R()和S()分别是的相关函数与功率谱密度，试证:(1)是平稳过程，且相关函数:0.7,0.4，求明天有雨且第四天仍有雨的几率。COS01-R2(2)的功率谱密度为:9已知随机过程-S4(t)的相关函数为:，问该随机过程(t)是否均方连续？是否均方可微?1、设随机过程X(t)RtC，t(0,)，C为常数,R服

7、从0,1区间上的均匀分布。(1)求X(t)的一维机率密度和一维分布函数；(2)求X(t)的均值函数、相关函数和协残差函数。【理论基础】x(1)F(x)f(t)dt，则f(t)为密度函数;(2)X(t)为(a,b)上的均匀分布，机率密度函数f(x)1,axba0,其他K，分布函数(ba)20,xaF(x)xaab,axb，E(x)，D(x)ba21,xb精品文档实用文档(3)参数为的指数分布，机率密度函数f(x)xce,x0，分布函数0,x0F(x)1x,x00,x01，E(x)1D(x)2；(4)E(x),D(x)2的正态分布,机率密度函数f

8、(x)1e2、21分布函数F(x)J2(t)2dt,x，若0,1时，其为标准正态分布。【解答】本题可出席课本习题2.1及22题。(1)因R为0,1上的均匀分布,C为常数，故X(t)亦为均匀分布。由R的取值范围可知,X(t)为C,Ct上的均匀分布,因而其三维机率密度f(x),CxCt0,其他维分布0,xC函数F(x)C,CXCt；1,xCt(2)依据相关定义，均值函数mX(t)EX(t)-C；21c相关函数RX(s,t)EX(s)X(t)st(st)C2；32(当st时为残差函数)12协残差函数Bx(s,t)EX(s)mx(s)X(

9、t)mx(t)22【注】D(X)E(X)E(X)；Bx(s,t)Rx(s,t)mx(s)mx(t)求机率密度的通解公式ft(x)f(y)|y'(x)|f(y)/|x'(y)|2、设W(t),t是参数为2的维纳过程，RN(1,4)是正态分布随机变量；且对任意的t，W(t)与R均独立。令X(t)W(t)R，求随机过程X(t),t的均值函数、相关函数和协残差函数。【解答】此题解法同1题。R服从于正态分布。故:2依题意,W(t)N(0,|t|)，RN(1,4)，因而X(t)W(t)均值函数mX(t)EX(t)1；相关函数RX(s,t

10、)EX(s)X(t)5;协残差函数BX(s,t)EX(s)mX(s)X(t)mX(t)4(当st时为残差函数)3、设抵达某超市的客户人数是一个泊松过程，平均每小时有180人，即180；且每位客人的消费额是服从参数为s的指数分布。求三天内(8个小时)超市营业额的物理期望与残差。【解答】此题可参见课本习题3.10题。由题意可知，每位客人的消费额Y是服从参数为s的指数分布，由指数分布的性质可知:1122E(Y),D(Y)，故E(Y2)，则由复合泊松过程的性质可得：三天内商厦营sss业额的物理期望mX(8)8180E(Y)；天内超市营业额的残差X(8)818

11、0E(Y2)。4、设马尔可夫链的转移机率矩阵为:0.30.70P00.20.80.700.3(1)求两步转移机率矩阵P及当初始分布为PX011,PX。2PX。30时，经两步转移后处于状态2的机率。(2)求马尔可夫链的平稳分布。【解答】可参考教材例4.3题及4.16题(1)两步转移机率矩阵0.30.700.30.700.090.350.0.20.800.20.80.560.040.40.700.30.700.30.420.490.09当初始分布为PX011,PX。时,0.090.350.561000.560.040.40.090.350.560.420.49

12、0.09故经两步转移后处于状态2的机率为0.35。（2）由于马尔可夫链是不可约的非周期有限状态，所以平稳分布存在。得如下等式组10.31020.732°.710.22.820.331231解上述等式组得平稳分布为8781,2J3-、设马尔可夫链的状态空间I123,4,5，转移机率矩阵为0.30.40.3000.60.000.30.700010求状态的分类、各常返闭集的平稳分布及各状态的平均返回时间。【解答】此题比较综合，可出席例4.13题和4.16题（1）由上图可知，状态分类为Gi1,2,3;G2

13、4,5（2）由上图及常返闭集定义可知，常返闭集有两个，下边分别求其平稳分布及各状态的平均返回时间。A、对G1常返闭集而言，解多项式组10.310.620320.410.421330.3102031231解上述等式组得平稳分布为，21590，350则各状态的平均返回时间分别为,t2,、对G?常返闭集而言，解多项式组10.3120.711212021解上述等式组得平稳分布为1071,21717则各状态的平均返回时间分别为tl17,、设N(t),t0是参数为的泊松过程，估算EN(t)

14、N(ts)【解答】EN(t)N(ts)EN(t)N(ts)N(t)N(t)EN(t)N(ts)N(t)EN(t)2EN(t)EN(ts)N(t)EN(t)22tst(t)t(1ts)Ni互相独立,7、考虑一个从底层启动上升的扶梯。以Ni记在i第层步入扶梯的人数。假设且Ni是均值为i的泊松变量。在第i层步入的各个人互相独立地以机率pij在第j层离开扶梯，必1。令Oj=在第j层离开扶梯的人数。ji(1)估算E(Oj)(2)Oj的分布是哪些(3)Oj与Ok的联合分布是哪些【解答】此题与本书联系不大，据有关方面信息，这次考试此题不考。以N

15、j记在第i层乘上扶梯，在第j层离去的人数，则Nj是均值为iPj的泊松变量随机过程习题集，且全部Nij(i0,ji)互相独立。因而:(1)EOjENjiPjii由泊松变量的性质知，OjNij是均值为ipij的泊松变量iiikki因Oi与。k独立，则P(OiOk)P(Oi)P(Ok)丁？芒莎e2，为期望。&一质点在1,2,3点上作随机游动。若在时刻t质点坐落这三个点之一，则在t,th)内，它都以机率ho(h)分别转移到其它两点之一。试求质点随机游动的柯尔莫哥洛夫微分等式，转移机率pij(t)及平稳分布。【解答】参见教材习题5.2题p.(t)依题意，由limq

16、j(ij)得，qj1(ij)，柯尔莫哥洛夫往前多项式为Pj2Pj(t)九建)九&),因为状态空间I1,2,3，故Pj(t)Pi,j1(t)Pi,j1(t)1，所以Pj2Pj(t)1Pj(t)3Pj(t)1，解上述一阶线性微分等式得：由初始条件确定常数c，得故其平稳分布1、有随机过程其中A，B，-

17、1,2,3，设(t)=Asin(t+)，(t)=Bsin(2，试求R(s,t)t+),Bt1ABcos22、随机过程(t)=Acos(t+s,t)，-

18、sin5所以具有平稳性。1t)何2T-.sinTTcos0故均值具有各态历经性。/1T(tt)tAcoscosRt2故相关函数不具有各态历经性。m3、某商店客人的到来服从硬度为4人每小时的过程，已知商店9：00开门，试求:（1）在开门半小时中，无客人到来的几率；（2）若已知开门半小时中无客人到来，这么在未来半小时中，仍无客人到来的几率。3、解：设客人到来过程为N（t）,t>=0，依题意N（t）是参数为的

19、过程。（1）在开门半小时中，无客人到来的机率为：1412PN0e2e221（2）在开门半小时中无客人到来可表示为N0，在未来半小时仍无客人到来可表21示为N1N-0，因而所求机率为：2PNN-0|N-02210|NN24110002e2e1PN(1)N-21PN(1)N-24、设某厂的商品的销售状态（按一个月计）可分为三个状态：滞销（用1表示）、正常（用2表示）、畅销（用3表示）。若经过对历史资料的整理剖析，其销售状态的变化（从这月到明年）与初始时刻无关，且其状态转移机率为pj（pj表示从销售状态i经过一个月后转为销售

20、状态j的机率），一步转移开率矩阵为：12-31试对经过长时间后的销售状况进行剖析。4、解答：由一步转移机率矩阵可知状态互通，且pi>0，因而所有状态都是遍历状态，于是极限分布就是平稳分布。设平稳分布为=1，2，3，求解多项式组：即：P,什2+3=11212二2二33961231得:8961,2,即极限分布为：由估算纟口果可以看出：经过相当长时间后，正常销售状态的可能性最大，而畅销状态的可能性最小。5、试对以下述矩阵为一步转移机率矩阵的齐次马尔可夫链的状态空间进行分解。0.700.3000

21、.10.80.100（1）P0.400..50.50000.50.513-0004A-000（2）P20-033100005、6、一个服务系统，客户按硬度为的过程抵达，系统内只有一个服务员，但是服务时间服从参数为的负指数分布，假如服务系统内没有客人，则客户抵达就开始服务，否则（t）表示服务系统t，其中与互相独立随机过程习题集，R（）他就排队。并且，假如系统内有两个客人在排队，他就离开而不返回。令中的客户数量。（1）写出状态空间；（2）求Q矩阵7、设t,t是平稳过程，令ttCOSoto是常数，为均匀分布在0,2上的随机变量，且t,t和S(）分别是t,t的相关函数与功率谱密度，试证（1）t,t是平稳过程，且相关函数：0（2）t,t的功率谱密度为：S1S40S07、7:(1)精品文档t,0tEcos；Rcos故为平稳过程(2)、已知随机过程2(t)的相关函数为:，问该随机过程(t)是否均方连续？是否均方可微?8、解答:=0时，相关函数是连续的，故随机过程在任意时刻均方连续。2eR0因为二阶行列式在=0存在，故过程是均方可微的。实用文档