高二数学多面体和正多面体球的体积和表面积同步教案新人教A版.doc 8页

高中语文四面体和正四面体球的容积和表面积同步学案新人教A版高中语文四面体和正四面体球的容积和表面积同步学案新人教A版PAGE/高中语文四面体和正四面体球的容积和表面积同步学案新人教A版高中语文（第26讲）【教学内容】第九章直线平面简单几何四面体和正四面体球的容积和表面积【教学目标】1、掌握四面体的有关概念和欧拉公式2、掌握球的有关概念、性质及球的容积和表面积的求法。【知识重点与难点】1、正四面体的每位面都是相同边数的正五边形，以每位顶点为其二端都有相同数量的棱多面体的概念，这样的四面体只有五种，即正多面体、正四面体、正八面体、正十二面体、正二十面体；2、简单四面体的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间的关系满足欧拉公式V+F-E=2；3、球既是中心对称，又是轴对称的简单几何体，它的任何截面均为圆面；1）球面被经过球心的平面截得的圆称作大圆；2）球面被不经过球心的截面截得的圆称作小圆；球的截面有以下性质：（1）球心和截面圆心的连线垂直于截面；（2）球心到截面的距离d与球直径R及截面直径r有下边的关系：rR2d24、在球面上，两点之间的最短连线的宽度，是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的宽度，这个弦长叫两点的球面距离。

区别球面上两点A、B的直线距离与球面距离。球面距离的估算步骤：1）估算线段AB的长；2）估算A、B对球心O的张角∠AOB（写成弧度）3）估算大弧形AB的长（弦长等于圆心角的弧度数除以直径）5、球的容积公式：球的表面积公式4R3（R为球直径）3S4R26、球的有关“接”与“切”的问题，常通过适当的轴截面化归为圆中问题解决。【典型例题剖析】例1：判定题1）过球面上两个点，只能作一个大圆（）用心爱心专心-1-（2）球是与定点的距离等于定长的点的集合（）（3）月球的纬线是月球的半个大圆（）（4）月球的经线是月球的大圆（）解：（1）错。若这两个点正好是球半径的两个端点，这么就可以作无数多少大圆。2）错。与定点的距离等于定长的点的集合是球面，球面所围成的几何体才叫圆球（简称球）3）对。4）错。点评：有关球的问题中常出现月球经经度的问题。某市的纬度就是过这点的纬线与地轴确定的半平面与本初子午线与地轴确定的半平面所成二面角的度数。纬线是半个大圆。某市的经度是经过这点的球直径与赤道面所成角的度数。经线除赤道外均为小圆。例2：在北纬45°线上的A、B两点，点A在东经30°，点B在东经120°，若月球的直径为R，求A、B两地在球面上的最短距离？剖析：A、B两地在球面上的最短距离就是A、B两点的球面距离，即过A、B的大圆在A、B间的劣弧的厚度。

为此关键要求出∠AOB的大小。若要求∠AOB只需求线段AB的长，而在△AO1B中可求出AB的长。A解：∵A在北纬45°线上O1B∴∠OAO=45°，AO2R同理∵A、B的纬度差为90°∴∠AO1B=90°Rt△AO1B中，AB2,ABR1△AOB中，∠AOB=60°113∴A、B的球面距离为1R3例3：用两平行平面截直径为5的球，若截面面积分别为9π，16π，则这两平行平面宽度离是。剖析：毋须画球的直观图，只需画出轴截面，将空间问题转化为平面问题。由于球是对称的所以这两个截面可能在球的同侧或异侧。O2r22=16πr1=4O1r1解：设⊙O1直径为r1πr1用心爱心专心O·-2-O2r22πr2=3⊙O2直径为r2πr2=9则若两个截面在球心同侧，则两平行平面宽度离O1O2=4-3=1若两个截面在球心异侧，则两平行平面宽度离OO=4+3=712例4：在球面上有四个点P、A、B、C，若PA、PB、PC两两相互垂直，且PA=PB=PC=a，求球的表面积？剖析：S球4R2，关键求出球的直径R。

此题须要画出球的直观图。由题意可知，△ABC是正三角形，三棱锥P-ABC中，P在平面ABC内的射影O1是△ABC的中心，也是截面ABC的圆心，OO⊥平面ABC。并且题中AO可以求11出。因而在Rt△PO1A和Rt△OO1A中运用勾股定律即可。P1111解：设球直径为R，作PO⊥平面ABC与O，联接OO、AO、AOAC∵PA、PB、PC两两垂直，又PA=PB=PC=aO1AB=BC=CA=2a∴P在平面ABC内的射影O1是正△ABC的中心，也是截面的圆心。∴OO1⊥平面ABC∴P、O1、O共线BO△ABC中，PO1A中,a23OO1A中，(6a)2(R3a)a2球的表面积4R243a23a24用心爱心专心-3-点拨：1、本题中要擅于把已知条件转化为已熟练的棱锥中的问题。2、此题中球O既是多面体PABC的外跳投，也是棱长为a的正方体的上投球，因为正方体的对角线长为3a，故球O的直径为3a。

2例5：若球直径为R，则球的内接正方体与外切正方体的棱长之比为。剖析：（1）球的内接正方体的8个顶点应落在球面上；（2）球的外切正方体的6个面都与球相切。分别画出适当的轴截面，（1）应取球正方体的对角面作轴截面；（2）如图应取A、B、C、D作截面。2R解：（1）中设正方体棱长为a，则3a2R,a3（2）中设正方体棱长为b，则b=2Ra:b=1:3ADDC··(1)(2)··点拨：几何体之间“接”与“切”的问题，必须明晰“接”“切”的位置画出能彰显元素间数目关系的截面，利用平面图形来研究。例6：三棱锥A-BCD的两条棱AB=CD=6，其余各棱长为5，求出三棱锥的内切球的容积。剖析：尽管晓得三棱锥的各个面与球相切，但还是很难画出一个恰当的剖面来彰显球的直径与三棱锥的棱长之间的关系。我们发觉内切球的球心O到三棱锥的四个面的距离相等均用心爱心专心-4-等于内切球直径R，因而考虑用三棱锥体积的不同求法来估算R。解：取CD中点E，联结AE、BE。∵BC=BD=5，E为CD中点∴BE⊥CD同理AE⊥CD∴CD⊥平面ABEVAABECD3∵△ABE中，AE=BE=4S72VA673∵各侧面全等，面积均为12，设内切球直径为R。

VABCD1(SABCSBCDSCDASABD)R148R球4R34(37)点评：四面体假如有一个内切球（半经为R），四面体n个面的面积分别为S、S、SS，123n把球心与四面体的顶点联结上去多面体的概念，四面体被分割成n个以表面为底面，R为高的小棱锥则四面体容积V1R()3【同步练习】一、选择题1、半径为5的球被一平面所截，若截面圆的面积为16π，则球心到截面的距离为（）A、4B、3C、2.5D、22、若球的表面积扩大为原先的2倍，则球的容积比原先降低了（）A、2倍B、4倍C、22D、（22-1）倍3、圆柱形容器的内壁底直径为5cm，两个半径为5cm的玻璃小球都浸入于容器的水底，若取出这两个小球，则容器内海面将增长（）用心爱心专心-5-A、5cmB、10cmC、40cmD、5、设月球直径为R，在北纬30°圈上有甲、乙两地，它们的纬度相差120°，则这两地的经度线长为（）A、πRB、2πRC、3πRD、3πR35、半径为1的球面上有三点A、B、C，若它们的球面距离均为，则三棱锥O-ABC的表2面积是（）A、3B、33C、33D、二、填空题6、湖面下浮着一个球，河水结冰后将球取出，冰上留下一个面半径为24cm，深为8cm的空穴，则这球的直径为。

7、凸六面体的顶点数为V，面数为F，且各个面都是四边形，则V-F=。8、棱长为a的正八面体的对角线长为。2229、自直径为R的球面上一点Q作球的相互垂直的三条弦QA、QB、QC，则QA+QB+QC=。10、四个直径为R的球两两外切，其中三个置于水平桌面上，第四个置于这三个之上，则第四个球的最低点离开桌面的高度为。三、解答题11、A、B、C是球O表面上三点，AB=6cm，∠ACB=30°，点O到点A、B、C所在截面的距离为5cm，求球O的表面积。12、已知直径为R的球面上有两个不同的点A、B，A、B连线不过球心，AB=m，过A、B的所有截面圆中，面积最大的圆的面积是多少？最小的圆的面积是多少？用心爱心专心-6-13、把半径分别为6cm，8cm，10cm的三个铜球熔制成一个较大的铜球，再把这个铜球削成一个棱长最大的正方体，求正方体的表面积和容积。【参考答案】一、选择题1、B设截面圆直径为r，则r216,r4,、D设球原先的直径为r，扩大后的直径为R，则4R24r22,R2rV后：V前R3:r322r3:r322:13A两小球的容积之和等于增长的火柱容积设增长xcm52x4(5)32,x5cm、，则3234、C北纬30°纬度圈直径为3,1，为3R2R这两地的经度线长为经度圈边长的335、B设球心为O，直径R=1，∠AOB=θ，AB的球面距离为22R2,2，同理：，三棱锥O-ABC中，OA=OB=OC=1，AB=BC=AC=2，2S表3R23(2R)23R23R二、填空题6、13cm设AB为空穴半径，AB=24，CD为球半径，用心爱心专心-7-CD=2R，CM=8，22由AM=CM·DM得12=8×（2R-8）得R=137、2由题意，棱数E4F2F,代入欧拉公式V+F-E=V+F-2F=V-F=228、2a由AC=AD=AE=AB，可得OC=OD=OE=OB且BC=CD=DE=EB，因而BCDE为正圆形BD=CE=2a，同理AF=2a9、把QA、QB、QC看作球内接长方体的三条棱22222则QA+QB+QC=(2R)=4R10、2（1+6）R所求的高度为四个球的球心构成的正多面体的高再加上两个球的直径，3正多面体O1-的高h(2R)2(2R3)三、解答题：11、解：画出三棱锥O-ABC，OA=OB=OC=R，作OD⊥平面ABC于D，联结CD，则D为△ABC外心，CD为△ABC外接圆直径，设为r，由余弦定律AB2r,r6sinBCARt△OCD中，R=OC=OD2CD2253661∴球O的表面积为4R2244(cm2)12、解：设球心到截面的距离为d，截面圆的直径为r，则rR2d2，当d=0时，r取得最大值，此时截面为球的大圆，因而最大圆的面积为πR2。

当以线段AB为截面圆的半径时，其面积最小，最小圆的面积为(m)2m2r，这么4r、解：设制成的铜球直径为=6cm，设削成的正方体棱长为a，要使正方体周长最大，则此正方体为球的内接正方体，3a2r,a2643,因而正方体的表面积为6a2=288，容积为a3=1923(cm3)。3用心爱心专心-8-